基于有限差分格式的二维气体动理学流动稳定性分析方法与流程

本发明涉及空气动力学研究领域，具体地，涉及基于有限差分格式的二维气体动理学流动稳定性分析方法。

背景技术：

1、对于临近空间高超飞行器，边界层转捩使其表面的摩阻和热流剧增3~5倍，严重影响飞行性能和安全。在大空域飞行环境下，稀薄气体效应的影响不可忽略，传统基于纳维-斯托克斯方程的分析理论与方法不再适用。现有基于boltzmann方程发展的稀薄流稳定性分析方法，为转捩高度预测提供了新的手段。然而，该方法采用切比雪夫谱方法，进行离散时需要选取流场空间内所有点，生成的矩阵较为稠密，对计算资源的需求有着极大考验。

技术实现思路

1、为了克服现有技术的不足，本发明提供了一种基于有限差分格式的二维气体动理学流动稳定性分析方法，采用有限差分格式离散得到的系数矩阵更为稀疏，降低了矩阵存储量与计算量，因此解决现有技术存在的物理空间点和速度空间点较多时计算时间过长的问题。

2、为实现上述发明目的，本发明提供了基于有限差分格式的二维气体动理学流动稳定性分析方法，所述方法包括：

3、步骤1：选取bgk模型作为初始模型；

4、步骤2：引入约化分布函数，消除所述初始模型中分布函数对竖直方向分子速度的依赖关系，得到关于约化分布函数的模型；

5、步骤3：在稀薄气体满足平行性假设和小扰动假设的条件下，将关于约化分布函数的模型中的瞬时量改写为基本流和扰动量之和的形式；在基本流满足关于约化分布函数的模型条件下，处理得到小扰动方程；

6、步骤4：将小扰动方程中的扰动约化分布函数通过求矩的方式处理得到扰动约化分布函数与扰动宏观量的关系；

7、步骤5：将小扰动方程中的扰动量写成形状函数和波状函数之积的形式，得到稳定性方程；

8、步骤6：采用漫反射边界条件，在小扰动假设下推导对应扰动的漫反射边界条件；

9、步骤7：基于扰动约化分布函数与扰动宏观量的关系，对稳定性方程和扰动的边界条件进行离散化处理，得到目标方程和目标边界条件；

10、步骤8：基于所述目标方程、所述目标边界条件和给定的参数求解特征值和特征向量，基于特征值和特征向量求解结果获得二维气体动理学流动稳定性分析的分析结果。

11、本发明提出一种基于有限差分格式的稀薄流稳定性分析方法，有限差分格式作为一种局部方法，在离散时可以减少矩阵非零元素比例，提高计算效率和存储空间需求。

12、其中，本发明步骤7采用指定方法对所述稳定性方程和扰动的边界条件进行离散化处理，得到目标方程和目标边界条件；其中，所述指定方法包括有限差分格式和gauss-hermite速度空间离散方法。

13、本发明采用隐式重启arnoldi算法求解特征值问题；将求出的特征值结果与谱方法结果对比计算精度和效率，分析有限差分格式的优越性。

14、其中，二维bgk初始模型为：

15、；

16、其中， f= f( t, x, y, ξ x, ξ y, ξ z)表示粒子关于时间、物理空间与速度空间的分布函数， x表示流向方向， y表示法向方向， ξ x、 ξ y和 ξ z分别为流向方向、法向方向和展向方向上的粒子速度， t表示时间， a x表示流向方向加速度， t表示温度， ρ为密度， f e粒子平衡态分布函数， kn表示努森数， μ表示粘度。

17、其中，约化分布函数为：

18、；

19、其中： g( t, x, y, ξ x, ξ y)= g为约化分布函数；

20、约化分布函数带入到模型方程中：

21、；

22、其中： g e表示粒子约化平衡态分布函数；

23、；

24、其中， ξ=（ ξ x, ξ y）表示粒子速度， u=( u, v)表示宏观速度， u为流向速度， v为法向速度， r表示粒子平衡态常数。

25、其中，本方法采用分布函数求矩的方式，确定出约化分布函数与宏观量的关系，密度和宏观速度的表达式如下：

26、；

27、；

28、其中，在稀薄气体满足平行性假设和小扰动假设的条件下，将关于约化分布函数的模型中的瞬时量改写为基本流和扰动量之和的形式，具体包括：

29、；

30、其中， t表示时间， x表示流向方向， y表示法向方向， ξ x和 ξ y分别为流向方向和法向方向上的粒子速度， u为流向速度， v为法向速度，为 g的基本量，为 g的扰动量， g e表示粒子约化平衡态分布函数，为 g e的基本量，为 g e的扰动量， ρ为密度，为 ρ的基本量，为 ρ的扰动量，为 u的基本量，为 u的扰动量， v的基本量为0，为 v的扰动量；

31、小扰动方程初步构建为：

32、；

33、消除基本流项与非线性项，得到小扰动方程为：

34、；

35、其中， a x表示流向方向加速度， kn表示努森数， r表示粒子平衡态常数。

36、其中，将小扰动方程中的扰动量写成形状函数和波状函数之积的形式，具体为：

37、；

38、其中， e为自然底数， i为虚数， a为波数，为频率，为 ρ的幅值，为 g的幅值，为 u的幅值，为 v的幅值，为 g e的幅值；

39、稳定性方程为：

40、。

41、其中，将小扰动方程中的扰动约化分布函数通过求矩的方式处理得到扰动约化分布函数与扰动宏观量的关系，具体为：

42、；其中， ξ表示粒子速度。

43、其中，对应扰动的漫反射边界条件为：

44、；

45、其中：表示粒子边界上的约化扰动分布函数，rw表示粒子边界上的位置， h表示时间间隔，表示粒子边界上平衡态扰动分布函数， ρ w表示边界扰动密度， u w表示边界上流向扰动平均速度， n表示边界的法向向量， t表示时间， ξ表示粒子速度；

46、 ρ w表示为：

47、；

48、其中，表示粒子边界上的平衡态扰动分布函数；

49、表示为：

50、；

51、其中， r表示粒子平衡态常数， ξ x和 ξ y分别为流向方向和法向方向上的粒子速度。

52、在本说明书一个可选的实施例中，采用有限差分法和gauss-hermite速度空间离散方法对目标稳定性方程进行离散。其中，稳定性方程的离散形式为：

53、；

54、其中， n表示物理空间点个数， j表示处于当前的物理空间点，表示有限差分格式系数， i为虚数， a为波数， kn表示努森数，为 ρ的基本量，表示在速度空间点 k的法向离散粒子速度，表示物理空间点 p速度空间点 k的约化扰动分布函数，表示在速度空间点 k的流向粒子速度，表示物理空间点 j速度空间点 k的约化扰动分布函数，表示物理空间点 j速度空间点 k的平衡态分布函数基本量，表示物理空间点 j速度空间点 k的约化分布函数基本量， w l表示权系数， q表示速度空间点，表示物理空间点 j速度空间点 l的约化扰动分布函数，表示物理空间点 j流向宏观速度，表示速度空间点 l的流向粒子速度，表示速度空间点 l的法向粒子速度；

55、扰动的边界条件对应的离散形式为：

56、；

57、其中，表示边界上速度空间点 k约化扰动分布函数，表示边界上速度空间点 k约化扰动平衡态分布函数的基本量，表示边界上满足分子速度条件的约化扰动平衡态分布函数的基本量， w up为上表面积分权系数， w low为下表面积分权系数，表示边界上约化扰动分布函数，表示边界点， ρ c为密度的基本量， ξ y为法向方向上的粒子速度。

58、在本说明书一个可选的实施例中，在步骤8之后，所述方法还包括：

59、基于二维气体动理学流动稳定性分析的分析结果和飞行器模型外形参数，获得飞行器模型转捩预测结果。

60、通过本方法，能够高效的获得二维气体动理学流动稳定性分析的分析结果，进而能够高效的实现对高空飞行器转捩预测，相比于n-s方程，通过调整努森数，能够描述从稀薄流到连续流的全流域流动，适用范围广。采用有限差分格式能够提高计算效率的同时降低内存需求，使研究更高马赫数的强非平衡流动稳定性问题成为了可能。

61、本发明提供的一个或多个技术方案，至少具有如下技术效果或优点：

62、本发明提供了一种基于有限差分格式的稀薄流稳定性分析方法，有限差分格式作为一种局部方法，在离散时可以减少矩阵非零元素比例，提高计算效率和存储空间需求。

63、本技术提供了一种基于有限差分格式的二维气体动理学流动稳定性分析方法，该方法具备分析大努森数高马赫数流动稳定性的能力，相比与谱方法更为高效，采用有限差分格式离散得到的系数矩阵更为稀疏，降低了矩阵存储量与计算量，能够解决现有技术存在的物理空间点和速度空间点较多时计算时间过长的问题。