一种用于结构优化的基于近似海森矩阵的多点近似方法

本发明涉及一种用于结构优化的基于近似海森矩阵的多点近似方法，方法所针对的是以杆、梁、板、壳及其组合而成的航天器复杂结构，属于航天器结构与机构设计领域。

背景技术：

1、航天器结构设计是确保航天任务成功的关键环节，它要求结构在满足极端太空环境要求的同时，还需具备足够的轻量化以降低发射成本。特别是在轻量化、多环境适应性方面，需要采用先进的优化设计技术来提升航天器结构的性能。

2、结构优化设计通常涉及到复杂的非线性行为、多学科耦合，且具有大量的设计变量和复杂的约束，使得优化问题的求解具有挑战性。随着技术的发展和对航天器性能要求的提高，传统的尺寸优化设计方法，特别是商用软件中集成的一阶方法，已逐渐不能满足现代航天任务的需求。对于有限元规模较大的航天器结构，优化迭代可能带来大量的结构分析次数，最终导致优化的时间过长。因此，迫切需要一种高效的优化设计方法(或优化系统)来提升航天器结构优化的效率。

3、本发明提出了一种用于结构优化的基于近似海森矩阵的多点近似方法。该方法首次将近似二阶信息引入多点近似函数的构造中，具体为，将拟牛顿法用于多点近似函数的海森矩阵计算，从而增强近似精度、提高复杂结构的尺寸优化设计效率。进一步，提出采用基于欧氏距离的邻域选点策略选取用来构建近似函数的已知点。最后，基于序列近似逼近的的优化策略，利用nastran和matlab联合开发了一套工程可用的航天器尺寸优化程序，可用于解决空间桁架、卫星等航天器结构在典型设计工况下的尺寸优化设计。

技术实现思路

1、本发明为解决传统尺寸优化方法对航天大型结构的优化求解中，由于迭代次数较多带来的结构分析时间过长、优化效率不高的问题，提出一种新的用于航天器结构优化设计的多点近似方法。需要强调，有限元模型是为了在设计和分析过程中准确预测结构的物理行为而建立的数值化表示，本发明所述的航天器结构有限元模型是由杆、梁、板、壳、实体单元组成，优化对象是模型的杆、梁、板、壳单元的属性，如截面尺寸、板厚度、节点坐标等。

2、该优化方法包括以下步骤：

3、步骤1：基于航天器结构的初始设计来建立航天器的有限元模型。

4、步骤2：在典型工况下进行航天器的力学预示，分析方式包括静力分析、模态分析、屈曲分析、瞬态响应等。

5、需要经过力学分析后得到结构的力学响应值，从而用于明确结构设计现状和优化问题中目标函数或约束条件的建立。静力分析指的是计算航天器结构在静载荷作用下的应力、应变和位移，求解的有限元基本方程是：

6、ku＝p

7、其中，k是全局刚度矩阵，u是节点位移向量，p是外部载荷向量。通过材料的应力-应变关系和插值公式可以进一步求得单元应力等响应值。

8、模态分析用于确定结构的自然频率和振型，这对于避免星箭间的响应共振至关重要，其求解的有限元基本方程是：

9、kφ-ω2mφ＝0

10、其中，φ是包含振型向量的矩阵，ω是特征值(自然频率的平方根)。

11、线性屈曲分析，用于评估结构在静载荷作用下的屈曲行为的一种分析类型。该分析所得到的屈曲载荷因子和振型，可以评估结构屈曲时的变形模式。所求解的有限元基本方程是：

12、ku-λkuu＝0

13、其中，ku是结构在初始载荷下的几何刚度矩阵，通常与节点位移向量u相关，λ为线性屈曲载荷因子。

14、瞬态响应分析用于确定结构在时间变化的载荷作用下的动态响应。这种分析考虑了载荷随时间的变化以及结构的惯性和阻尼特性，所求解的有限元基本方程不再给出。基于上述分析可以得到所关心的力学响应值，用于评估结构设计合理性并用于建立后续优化模型。

15、步骤3：建立结构优化数学模型，即明确优化目标、约束函数和设计变量。

16、关于连续变量的航天器结构优化原始问题的数学描述为：

17、

18、式中，x为与结构件相关的可连续取值的尺寸变量(如杆件截面面积、板厚度、节点坐标等)，xk为其中的元素，m为连续变量的数目；分别为变量上、下限；f(x)为结构质量，是优化设计的目标函数；gj(x)为第j个结构性状约束，其是设计变量的隐函数，如应力约束、位移约束、固有频率约束以及稳定性约束等，j0为约束的数目。为消除响应大小的影响，与结构响应相对应的约束采用归一化形式。

19、步骤4：建立考虑二阶信息的序列近似问题用来逼近原始问题。

20、采用多点逼近函数，并选取中间变量建立原优化问题的序列显式近似问题。第p次迭代的近似问题表述如下：

21、

22、式中，f(p)(x)和分别为第p次迭代时通过多点近似技术建立的目标和约束函数，并统一用函数w(p)(x)来表示；j1为保留下来的临界约束的数目；和是xk此时的上下限，和是xk在第p次迭代时的运动限，且当前点各设计变量的运动限宽度一般取为各变量可变区间宽度的20％。利用已知点的累积信息，采用本发明提出的考虑近似二阶信息的多点近似方法建立如下关于变量x的包含二阶导数信息的近似函数：

23、

24、式中，h为已知点的数目，其上限为hmax，若已知点数目大于hmax，则只保留最后的hmax个已知点；xt为第t个已知设计点；中间变量yt(xt)是已知点处的中间变量取值；w(p)(x)是为第p次迭代时通过多点近似技术建立的目标或者约束函数；w(xt)是目标或者约束函数的函数值；是第t个已知点在第p阶段的海森矩阵；ht(x)是权重函数；是包含已知点一阶信息的近似函数。ht(x)和的计算方法如下：

25、

26、

27、式中，w(xt)和分别是原函数在已知点xt处的函数值和偏导数，通过半解析法获得；xs以及l是计算中的代换符号，无实际含义；rt是控制近似函数非线性程度的自适应参数，通过求解如下最小二乘问题获得：

28、

29、式中，rtl,rtu分别为rt的上下限，一般来说，取rt0＝-1,rtl＝-5,rtu＝5。

30、随着结构优化过程进行，需要校正自适应参数rt。鉴于最小二乘问题在考虑二阶信息后较为复杂，本发明中利用内点算法求解，内点算法利用了可行域内部的点来避免处理边界条件，并通过障碍函数来确保解的可行性。通过近似函数将原始优化问题显式化为近似问题，该近似问题是一个非线性有约束规划问题，本发明中仍然利用内点算法求解，内点算法对于具有复杂约束和大规模优化问题的求解也比较有效。

31、步骤5：利用拟牛顿法估算多点近似函数的海森矩阵。

32、具体为，用来近似每次迭代仅需要利用函数值和一阶信息来修正初始矩阵在没有更好估计的情况下，通常可取单位矩阵。需要指出，仅校正当前点(即第h个已知设计点)的海森矩阵即令(t＝1,2,...,h-1且h≥2时)。基于拟牛顿条件导出针对第h个已知点的bfgs校正公式为：

33、

34、式中，和分别是第h个已知设计点在p阶段和p-1阶段的近似海森矩阵；s(p-1)为相邻迭代点关于中间变量的增量；y(p-1)为相邻迭代点关于中间变量的梯度变化，具有如下形式：

35、s(p-1)＝yh(x(p))-yh-1(x(p-1))

36、

37、式中，x(p)为第p次迭代的初始点，也即第p-1次迭代得到的次优点；rh和rh-1分别是第h个已知点和第h-1个已知点的自适应参数；其它参数的约定和前文相同。拟牛顿校正适用于频率约束(或特征值)、节点位移的二阶导数近似计算。由于应力约束往往伴随着数量庞大的有限单元应力响应值，当采用约束删除后，有限单元应力响应值可能在相邻迭代中保留或者删除，所以应力约束无法利用此方案近似海森矩阵。实际中，可令应力约束的为零矩阵。

38、步骤6：利用基于欧氏距离的邻域选点策略选取已知点。

39、随着迭代进行，已知点会逐渐增多，需要考虑选择哪些点信息来构造多点近似函数会更加合理。首先，需要设置选取已知点个数的上限hmax，这是因为若采用过多的已知点，会给非线性自适应参数的计算带来误差而且距离相对较远的设计点间信息的参考意义不大。因此，本方法提出了基于欧氏距离的邻域选点策略。首先，介绍边界圆的概念。对于如图1所示的迭代过程示例，x(9)是最新得到的次优点。取最新的hmax＝5个点构造新的近似函数(即选取x(5)～x(9))，其中，距离x(9)最远的点是x(6)，所以建立以x(9)为圆心，以其到x(6)的欧氏距离为半径的边界圆。显然，之前的迭代点x(2)、x(4)也在边界圆内，一个合理的建议是应当使用x(2)代替x(6)来构建多点近似函数，这是因为距离当前最优点更近的点更加有参考价值。

40、对于涉及3维及更高维设计变量的优化问题，边界圆可推广为3维及更高维的球域。基于上述描述和分析，本发明选取已知点的方法为：h≤hmax时，按照顺序依次增加所要选取的已知点；h≥hmax时，遵循以下步骤：

41、(1)将最新的点记作x(p)，选取最新的5个已知点建立已知点集合a；

42、(2)计算最大包络半径xt∈a，并建立边界球面并将距离x(p)最远的点记作xt,max(该点在边界球面上)；

43、(3)判断球域内是否存在其他不属于a的已知点。若存在，则将其它已知点集合记作b，转步骤(4)；若不存在则转至步骤(5)；

44、(4)找出b中距离x(p)最近的已知点并将其加入集合a而将xt,max移除，转至步骤(2)；

45、(5)已知点选取完毕，输出集合a。

46、序列近似问题(步骤4)在迭代过程中，会利用拟牛顿法估算多点近似函数的海森矩阵(步骤5)并且基于利用基于欧氏距离的邻域选点策略选取已知点(步骤6)。

47、步骤7：收敛性判别与自动优化系统的建立。

48、为了提高航天器结构优化设计效率，整个优化迭代务必保证是自动进行的。当相邻迭代的目标函数的差值/相对差值小于容限值，并且约束条件都满足时认为迭代收敛。优化系统的运行逻辑是：在patran中完成结构有限元的初始建模，通过递交bdf文件的方式调用nastran进行分析；matlab中建立主程序，包括收敛性判别、近似函数的建立、优化器寻优、优化结果可视化等模块；另外，还需要外部文件存储迭代结果。图2给出了优化平台的开发框架。下面给出程序系统中一些核心的命令或者函数，并且详细说明了输入、输出和调用关系。

49、(1)[optx,fval]＝fmincon(@objfun,x0,[],[],[],[],move_lower,move_upper,@constraint,options)；

50、此函数用于近似问题的寻优，默认采用内点算法。输入项包括句柄函数@objfun和@constraint，分别是优化的目标和约束函数，由本发明所提的多点近似方法所建立；x0是设计变量初值；move_lower是变量运动限中的下限向量；move_upper是变量运动限中的上限向量；option是用来定义收敛容差或者单步显示内容的结构体。输出项中，optx为当前近似问题的最优设计变量，fval为当前近似问题的最优目标函数值。在每次的近似问题迭代中，都需要更新运动限数值并调用此函数。

51、(2)[rsp(loop,:),drsp(loop,:,:)]＝sensitivity_anaysis(optx,lower_limit,upper_limit)；

52、在得到优化值后，需要调用此函数用于结构分析。输入项中，optx为当前近似问题的最优设计变量(同上)。输出项中，loop为迭代步数；rsp(loop,:)为第loop次近似问题优化迭代后得到的实际结构响应值，同理，drsp(loop,:,:)为灵敏度值。对商用软件的调用语句示例为system('d:mscsoftwarenastran2018binnastran.exe"',bdf_name,'.bdf'],'-echo')，其中的变量bdf_name为文件名称。

53、(3)[ap,ap_dg]＝approximate_function(in_x,x,g,dg,r)；

54、此函数的核心是本发明提出的基于近似海森矩阵的多点近似方法，用于建立目标函数和约束函数的近似函数。输入项中in_x为近似问题内部寻优过程中的设计变量，x是一个包含已知点的设计变量值的矩阵；g是一个包含已知点处的约束函数值的向量；dg是一个矩阵，包含了已知点处约束函数对设计变量的敏度；r中存储了多点近似函数中的非线性自适应参数值。输出项中，ap为在设计变量取值为in_x时，基于近似函数所得到的目标/约束函数函数值；ap_dg为近似的敏度值。通过调用此函数，避免了寻优过程的每次迭代都调用结构分析程序，以此减小整个优化时间并提高设计效率。

55、步骤8：方法对比、分析与迭代显式化。设置优化实例来说明从航天器设计到分析再到优化的一般流程，通过与典型商用软件等优化方法的结果对比来验证本发明中所提方法的有效性。通过本发明提出的基于近似海森矩阵的多点近似方法，可以得到目标函数最优值、约束函数值，并绘制出目标函数的迭代曲线。

56、本发明的优点及有益效果在于：本发明提及的方法/优化策略能够提高近似函数的近似精度、提高优化效率，并且适用于尺寸、形状的混合优化。基于本发明提及的方法，经过二次开发后建立了一个实用的优化系统以保证整个优化迭代是自动进行的。特别地，针对航空、航天领域中大型的板、梁及其组合结构，此方法能够显著降低优化过程中的结构分析次数，从而减少工程结构的优化设计耗时。此方法能够处理静力学、动力学响应下的约束条件，而且所得到的优化结果是真实解，无需特别复杂的后处理便可直接应用到实际结构设计中。