一种处理含参数不确定性和输入时延系统的自适应鲁棒MPC方法

本发明属于自动化，具体涉及一种处理含参数不确定性和输入时延系统的自适应鲁棒mpc方法。

背景技术：

1、在实际应用中，系统中总是存在由各种因素引起的不确定性，如随机噪声、模型参数的不确定性，包括加性或乘性的不确定性。这些不确定性会影响系统的性能，甚至导致系统不稳定。此外，在一些实时响应系统中，传感器延迟，执行器延迟和信号传输延迟等输入延迟也会影响系统性能，甚至造成安全隐患。目前，针对不确定系统模型的mpc研究主要集中在两个方面：鲁棒mpc和自适应mpc。

2、鲁棒mpc是解决系统不确定性的常见和有效的方法，主要包括min-max mpc和tube-mpc。传统的鲁棒mpc通常考虑参数不确定性的最坏情况，结果相对保守。因此，在同时考虑系统参数不确定性和输入延迟的情况下，结合自适应控制是一种很有前景的技术解决方案。

3、自适应mpc的核心思想是设计自适应算法在线更新不确定参数，并基于更新后的系统模型计算最优控制输入，同时保证系统稳定性。当前已经研究了多种自适应mpc的参数识别策略，包括隶属识别、递归最小二乘法、神经网络和自适应更新律等。

4、然而在实际系统中，时间输入延迟的情况经常发生，目前关于同时具有时间延迟和模型不确定性系统的mpc研究相对较少。因此，如何以稳定且高效的方式处理系统中的输入延迟和参数不确定性，仍然是当前研究的一个难点。

技术实现思路

1、本发明针对上述现有技术的不足，提供一种处理含参数不确定性和输入时延系统的自适应鲁棒mpc方法，基于tube模型预测控制(tube-mpc)框架，通过在线自适应估计系统参数，结合状态扩展方法处理输入时延问题，实现对系统的鲁棒控制，解决线性系统中具有参数不确定性和输入时延的问题。

2、为实现上述技术目的，本发明采取的技术方案为：

3、一种处理含参数不确定性和输入时延系统的自适应鲁棒mpc方法，包括以下步骤：

4、步骤1、建立含有参数不确定性和输入时延的离散线性系统；

5、步骤2、使用状态变量扩展法，将所述离散线性系统转换成增广系统并建立增广系统的估计系统、误差传递系统，基于估计系统建立优化控制问题；

6、步骤3、基于估计系统、误差传递系统，建立基于时变更新率的自适应更新律并在线更新系统的估计参数，确保估计参数的误差有界；

7、步骤4、基于在线更新的系统的估计参数，针对无穷时域优化控制问题，采用椭球体参数化法简化优化过程，使用tube-mpc思想设计控制器，得到离线优化问题和在线优化问题；

8、步骤5、采用自适应鲁棒mpc算法求解所述离线优化问题和在线优化问题，得到优化结果。

9、为优化上述技术方案，采取的具体措施还包括：

10、上述的步骤1建立如下含有参数不确定性和输入时延的离散线性系统：

11、xθ(k+1)＝aθxθ(k)+bθu(k-d) (1)

12、其中xθ(k+1)是在时间k+1所测量的系统状态；

13、和分别是系统的状态变量和输入变量，是已知的时间延迟，和是含不确定性的系统矩阵；

14、系统的状态和输入位于包含原点的集合中，定义为：

15、c:＝{(xθ,u)|fxθ+gu≤1} (2)

16、其中

17、上述的步骤2所述将所述离散线性系统转换成增广系统并建立增广系统的估计系统，包括：

18、步骤201，采用状态变量扩展法，将原始系统转换成如下增广系统：

19、x(k+1)＝ax(k)+bu(k) (3)

20、其中x(k+1)表示在时间k+1扩展后的状态向量；

21、表示在时间k扩展后的状态向量；

22、和表示扩展后的系统矩阵，形式如下：

23、x(k)＝[u(k-1)t,…,u(k-d)t,xθ(k)t]t

24、

25、步骤202，建立所述增广系统的估计系统：

26、

27、其中和分别是a和状态x(k)的估计值；

28、步骤203，用式(3)减去(4)得如下误差传递系统：

29、

30、其中为状态误差；

31、为矩阵a的估计误差；

32、步骤204，定义当前时刻状态向量δ(k)＝[u(k-d)t xθ(k)t]t，参照公式(5)，状态估计误差定义如下：

33、

34、其中为状态估计误差；

35、为参数估计误差，表示实数域，n表示系统的状态变量的维度，m表示系统的输入变量的维度；

36、a和分别为：

37、

38、a＝[bθaθ]

39、

40、其中a为系统的真实参数向量；

41、为对系统状态矩阵在k时刻的估计；

42、为对系统状态矩阵在k时刻的估计。

43、上述的步骤2所述基于估计系统建立优化控制问题包括：

44、将参数不确定性以加性扰动的形式表示，式(4)所示估计系统写成如下形式：

45、

46、其中表示以扰动形式表示的参数不确定性，满足集合满足二次型约束wtpww≤1；

47、为正定矩阵，决定了扰动集合的形状和范围，同时保证二次型非负；

48、d＝imd+n为扰动矩阵；

49、使用tube-mpc算法思想构造一组集合序列称为状态tube，其包含输入序列所能产生的系统的所有轨迹，则无穷时域优化控制问题如下：

50、

51、

52、

53、fxl|k+gul|k≤1 (11)

54、

55、其中l表示预测时域内的时间步长索引，n表示预测时域的长度；

56、j(·,·)和jt(·)分别表示基于状态tube定义的阶段和终端成本函数,形式如下:

57、

58、

59、其中和为正定矩阵，是离线计算的正定终端成本矩阵，

60、上述的步骤3所述基于估计系统、误差传递系统，建立基于时变更新率的自适应更新律并在线更新系统的估计参数，包括：

61、首先，定义关于状态误差的代价函数形式如下：

62、

63、通过下式求得jx相对于的梯度：

64、

65、接着采用一种自适应更新律来最小代价函数，引入时变更新率λ(k)＞0如下：

66、

67、λ(k)由下面成本函数得到：

68、

69、对jx关于λ(k)求导并将其令为零：

70、

71、得到：

72、

73、将式(18)代入(15)得：

74、

75、其中在k+1时刻通过计算得到，xθ(k+1)是在时间k+1所测量的系统状态。

76、上述的步骤4所述采用椭球体参数化法简化优化过程，包括：

77、对状态使用预定义的椭球体进行参数化，形式如下：

78、

79、其中表示状态集合，x表示系统状态向量；

80、为正定矩阵，l由p＝ltl的cholesky分解获得；

81、‖·‖2表示2-范数；

82、使用缩放变量和移位变量将状态tube参数化为如下形式：

83、

84、其中el|k＝xl|k-zl|k；

85、表示在预测时刻k时，第l个时刻的缩放因子，用于缩放状态tube的大小；

86、表示在预测时刻k时，第l个时刻的状态偏移向量；

87、表示minkowski和；

88、控制输入参数化为如下形式：

89、

90、其中k为离线设计的反馈增益，为在线优化变量；

91、终端集用椭球体定义为如下形式：

92、

93、其中表示终端集。

94、上述的步骤4所述采用椭球体参数化法简化优化过程，还包括：

95、根据变量重新表述优化问题的条件，式(9)的初始条件表示形式为如下二次约束：

96、

97、式(10)成立的条件如下：

98、

99、其中为给定标量，dl|k＝azl|k+bvl|k-zl+1|k，式(25)是关于变量zl|k,αl|k,αl+1|k,τ1,l|k和τ2,l|k的线性矩阵不等式lmi；

100、式(11)成立的条件如下：

101、

102、其中是离线计算的最大值向量，提供状态tube在各个方向的状态空间的最坏情况，用于保证状态约束的满足，每个元素为其中[f+gk]i表示矩阵(f+gk)的第i行，那么得到式(11)的控制输入和状态tube的参数化形式，状态和输入约束可以重新表述为线性不等式；

103、式(12)成立的条件如下：

104、

105、其中τ1,t为给定标量，式(27)是关于变量zn|k,αn|k和τ1,t中的线性矩阵不等式lmi。

106、上述的步骤4所述使用tube-mpc思想设计控制器，最终得到离线优化问题，包括：

107、通过离线设计制定优化问题来计算椭球体形状矩阵p和反馈增益k，首先为了保证递归可行性，mpc控制器的终端集被设计为在终端控制器下保持不变，即终端集满足如下条件：

108、

109、其中x+表示下一个时间步的系统状态；

110、在椭球tube的框架下写成：

111、

112、如果存在正标量使得下式成立：

113、

114、其中y＝kp-1，τ1,o+τ2,o≤1，那么终端集满足条件(29)；

115、另外，设计终端集满足在终端控制律下的状态和输入约束，形式如下：

116、

117、其中和schur补引理一起使用得到上述结果；

118、最后，需要制定离线优化问题来计算椭球形状p和反馈增益k，为了使控制器的吸引区域最大化，从而使终端集的大小最大化，通过最小化p的行列式来实现，因此，离线优化问题表示为：

119、

120、(30),(31)

121、终端成本矩阵pc的求解条件如下：

122、

123、其中qx为状态权重矩阵，qu为控制输入权重矩阵。

124、上述的步骤4得到的在线优化问题如下：

125、

126、其中为在线优化变量。

127、上述的步骤5的自适应鲁棒mpc算法具体如下：

128、首先给出系统初始状态初始估计矩阵控制和预测时域np，成本矩阵q；

129、然后，求解离线优化问题，包括：

130、步骤501：k←1；

131、步骤502：设置网格τ1,o∈(0,1)；

132、步骤503：通过每个τ1,o求解离线优化问题式(32)来计算p,k；

133、步骤504：选择p,k最小化det(p)；

134、步骤505：计算pc满足式(33)并最小化trace(pc)；

135、求解在线优化问题，包括：

136、步骤511：求解在线优化问题式(34)；

137、步骤512：应用控制输入uk＝k(xk-z0|k)+v0|k；

138、步骤513：测量实际不确定系统的状态x(k+1)；

139、步骤514：用自适应更新律对估计系统的更新；

140、步骤515：设置

141、步骤516：k←k+1。

142、本发明具有以下有益效果：

143、本发明首先将原系统状态进行扩展以补偿输入时延的影响，然后设计一种自适应更新律对系统参数进行实时估计，随后将进行更新的不确定参数以加性干扰的形式表示，并通过tube-mpc算法设计鲁棒控制器，确保系统在存在扰动情况下的稳定性和性能优化。

144、本发明提出的控制方法具有计算效率高、适应性强和鲁棒性好的优点，可广泛应用于自动控制、工业过程控制等领域，尤其适用于存在参数不确定性和输入时延的复杂系统。

145、本发明针对具有参数不确定性和输入时延地线性系统，采用扩展状态的方法有效地处理了输入时延问题，确保了控制策略的有效性和准确性，所提自适应更新律动态调整系统参数，增强了系统在面对不确定性时的鲁棒性。