一种特征值方程边值问题的新数值求解方法与流程

本发明涉及计算数学和数值分析，具体为一种特征值方程边值问题的新数值求解方法。

背景技术：

1、在许多物理和工程问题中，特征值方程边值问题的求解是至关重要的。这些问题涉及到的领域广泛，包括量子力学、振动分析、稳定性分析、热传导、流体动力学等。特征值问题通常涉及到求解一种特殊类型的微分方程，即特征值微分方程，其解包括一组特征值和对应的特征函数。在实际应用中，这些问题通常涉及到复杂的几何形状和非线性物理特性，因此需要使用数值方法进行求解。

2、现有的数值方法主要包括有限差分法、有限元素法和有限体积法等。这些方法都需要将求解区域划分为一系列的小区域或网格，然后在每个小区域内进行近似求解。然而，这些方法的计算效率和精度往往受限于网格的质量和划分策略。例如，过粗的网格可能导致求解精度不足，而过细的网格则可能导致计算量过大，导致计算效率低下。此外，对于复杂的非线性特征值问题和高维问题，现有的数值方法往往难以处理。

技术实现思路

1、针对现有技术的不足，本发明提供了一种特征值方程边值问题的新数值求解方法，该方法首先根据初步解的梯度或误差指标自动划分求解区域，然后在每个划分区域内应用有限差分法或有限元素法进行离散化，最后对离散化后的线性方程组进行求解以获取特征值和相应的特征函数，此外，该方法还可以扩展到解决非线性特征值问题和三维问题。

2、为实现以上目的，本发明通过以下技术方案予以实现：一种特征值方程边值问题的新数值求解方法，包括以下步骤：

3、根据初步解的梯度或误差指标自动划分求解区域；

4、在每个划分区域内应用有限差分法或有限元素法进行离散化；

5、对离散化后的线性方程组进行求解以获取特征值和相应的特征函数。

6、优选的，所述自动划分求解区域步骤，包括：

7、使用粗糙网格和简单数值方法得到初步解；

8、基于初步解的梯度或误差指标确定需要更精细网格的区域；

9、迭代直至满足预定的精度要求。

10、优选的，所述离散化步骤，包括：

11、对于有限差分法区域，应用五点差分方案近似拉普拉斯算子；

12、对于有限元素法区域，选择双线性基函数进行加权残差法离散化。

13、优选的，所述线性方程组的求解步骤包括：

14、合并有限差分法区域和有限元素法区域的离散方程，构建总线性方程组；

15、应用特征值求解算法，求解总线性方程组。

16、优选的，所述特征值求解算法为幂法或雅各比法。

17、优选的，所述特征值方程边值问题为二维问题。

18、优选的，所述方法还用于解决非线性特征值方程边值问题，包括：

19、使用牛顿法或拟牛顿法将非线性问题线性化；

20、在每次迭代中使用所述方法求解线性化后的问题。

21、优选的，所述方法还用于解决三维特征值方程边值问题，包括：

22、将有限差分法和有限元素法从二维扩展到三维；

23、处理更大规模的线性方程组，包括使用并行计算或高效的迭代方法。

24、本发明还提供一种特征值方程边值问题的数值求解装置，包括：

25、自适应区域划分模块，用于自动划分求解区域；

26、离散化模块，用于在每个区域内应用有限差分法或有限元素法进行离散化；

27、求解模块，用于求解离散化后的线性方程组以获取特征值和相应的特征函数。

28、本发明还提供一种计算机设备，包括存储器、处理器及存储在存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，所述处理器执行所述计算机程序时，实现如上述的方法。

29、本发明还提供一种存储介质，其上存储有计算机程序，该计算机程序被处理器执行时实现如上述的方法。

30、本发明提供了一种特征值方程边值问题的新数值求解方法。具备以下有益效果：

31、1、本发明的数值求解方法通过结合不同的数值技术和自适应网格策略，能够在保证求解精度的同时提高计算效率，对于处理复杂的特征值边值问题具有显著的优势。

32、2、本发明通过自适应网格划分，能够针对问题的特定区域(如解的梯度大或误差指标高的区域)进行网格细化，从而在关键区域获得更高的数值解精度。

33、3、本发明在解的变化不显著的区域保持较粗的网格，从而减少不必要的计算量，提高了整体的计算效率。

1.一种特征值方程边值问题的新数值求解方法，其特征在于，包括以下步骤：

2.根据权利要求1所述的一种特征值方程边值问题的新数值求解方法，其特征在于，所述自动划分求解区域步骤，包括：

3.根据权利要求1所述的一种特征值方程边值问题的新数值求解方法，其特征在于，所述离散化步骤，包括：

4.根据权利要求1所述的一种特征值方程边值问题的新数值求解方法，其特征在于，所述线性方程组的求解步骤包括：

5.根据权利要求4所述的一种特征值方程边值问题的新数值求解方法，其特征在于，所述特征值求解算法为幂法或雅各比法。

6.根据权利要求1所述的一种特征值方程边值问题的新数值求解方法，其特征在于，所述特征值方程边值问题为二维问题。

7.根据权利要求6所述的一种特征值方程边值问题的新数值求解方法，其特征在于，所述方法还用于解决非线性特征值方程边值问题，包括：

8.根据权利要求6所述的一种特征值方程边值问题的新数值求解方法，其特征在于，所述方法还用于解决三维特征值方程边值问题，包括：

9.一种特征值方程边值问题的数值求解装置，基于权利要求1-8任一项所述求解方法，其特征在于，包括：

10.一种存储介质，其上存储有计算机程序，其特征在于，该计算机程序被处理器执行时实现如权利要求1-8任一项所述的方法。